Cercle trigonométrique

En mathématiques, le cercle trigonométrique est un cercle qui permet d'illustrer les différentes fonctions et notion de trigonométrie, c'est-à-dire, les relations entre distances et angles dans les triangles.

Illustration du cercle trigonométrique unitaire ; la variable t est la mesure de l'angle.

Description

Le cercle trigonométrique est un cercle qui permet d'illustrer et de définir des notions comme celles d'angle, de radian et les fonctions trigonométriques : cosinus, sinus, tangente. Il s'agit du cercle dont le rayon est égal à 1 et qui est centré sur l'origine du repère, dans le plan usuel muni d'un repère orthonormé.

Fonctions trigonométriques sur le cercle

Les fonctions trigonométriques d'un angle α peuvent être construites géométriquement à partir du point correspondant du cercle trigonométrique.

Soit $(O,{\vec {\imath }},{\vec {\jmath }})$ un repère orthonormé du plan euclidien.

Soit M un point du cercle trigonométrique de coordonnées (x, y) et ${\vec {u}}={\overrightarrow {OM}}$ son vecteur associé. Si un réel t est une mesure de l'angle $\left({\vec {\imath }},{\vec {u}}\right)$ alors $x=\cos(t){\text{ et }}y=\sin(t)$.

et l'équation cartésienne du cercle donne immédiatement une identité trigonométrique connue :

$\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1\,\!$

Le cercle trigonométrique peut aussi donner un moyen intuitif de réaliser que les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions périodiques, vérifiant les relations :

$\forall t\in \mathbb {R} \quad \forall k\in \mathbb {Z} \quad \cos(t+2k\pi )=\cos(t){\text{ et }}\sin(t+2k\pi )=\sin(t).$

Ces égalités s'interprètent par le fait que le point (x, y) reste le même après avoir ajouté ou retranché un multiple entier de 2π et ainsi effectué plusieurs tours complets du cercle. Lorsqu'elles sont définies à partir d'un triangle rectangle, les valeurs des fonctions sinus, cosinus et d'autres fonctions trigonométriques n'ont de sens que pour des angles compris entre 0 et π/2 rad, mais dans le cercle trigonométrique leurs valeurs prennent un sens en n'importe quel réel.

Le rapporteur est un instrument de mesure matérialisant le cercle trigonométrique.

Valeurs remarquables

Les valeurs remarquables sont illustrées sur la figure suivante et données dans le tableau ci-dessous.

Cercle trigonométrique et angles remarquables.

Angle centésimal	0°	33,3°	50°	66,7°	100°	133,3°	150°	166,7°	200°	233,3°	250°	266,7°	300°	333,3°	350°	366,7°	400°
Angle sexagésimal	0	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Angle en radians	$0$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$	${\frac {2\pi }{3}}$	${\frac {3\pi }{4}}$	${\frac {5\pi }{6}}$	$\pi$	${\frac {7\pi }{6}}$	${\frac {5\pi }{4}}$	${\frac {4\pi }{3}}$	${\frac {3\pi }{2}}$	${\frac {5\pi }{3}}$	${\frac {7\pi }{4}}$	${\frac {11\pi }{6}}$	$2\pi$
Cosinus (axe x)	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	$0$	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-1$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\frac {1}{2}}$	$0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$1$
Sinus (axe y)	$0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	$0$	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-1$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\frac {1}{2}}$	$0$

(Les personnes intéressées par un tableau plus complet peuvent consulter les valeurs trigonométriques exactes en bibliothèque wikiversitaire)

Le cercle trigonométrique et le repérage polaire

Le cercle trigonométrique est un cas particulier simple de la représentation en coordonnées polaires d'un point M du plan. Au couple de composantes cartésiennes (x, y), on substitue un couple (r, θ), où r est la distance, positive, de M à l'origine, et θ une mesure en radians de l'angle orienté $({\vec {i}},{\overrightarrow {OM}})$.

Cette approche permet alors de définir le cercle trigonométrique comme le lieu des points vérifiant en coordonnées polaires r = 1.^{[source insuffisante]}

Voir aussi

• Cercle unité